Question

14．如图，二次函数y=ax²-2ax+4（a≠0）的图象交x轴于点A、B，点A坐标为（3，0），与y轴交于点C，以OC、OA为边作矩形OADC，点E位线段OA上的动点，过点E作x轴的垂线分别交CA、CD和二次函数的图象于点M、F、P，连接PC．
（1）写出点B的坐标（-1，0）；
（2）求线段PM长度的最大值；
（3）试问：在CD上方的二次函数的图象部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时点P的横坐标，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据△PFC∽△AEM，则$\frac{PF}{AE}$=$\frac{FC}{EM}$，可得$\frac{-\frac{4}{3}{m}^{2}+\frac{8}{3}m}{3-m}$=$\frac{m}{4-\frac{4}{3}m}$，根据解方程，可得答案；根据△CFP∽△AEM，则$\frac{FC}{AE}$=$\frac{PF}{EM}$，可得$\frac{m}{3-m}$=$\frac{-\frac{4}{3}{m}^{2}+\frac{8}{3}m}{4-\frac{4}{3}m}$，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）将A点坐标代入函数解析式，得
9a-6a+4=0，解得a=-$\frac{4}{3}$．
抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4．
当y=0时，-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4=0．
解得a=-1或a=3，即B点坐标为（-1，0），
故答案为：（-1，0）；
（2）∵二次函数y=ax²-2ax+4（a≠0）的图象经过点A（3，0），代入求得：a=-$\frac{4}{3}$．
∴二次函数的表达式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4．
∵点A坐标为（3，0），点C坐标为（0，4）
∴直线AC的方程为y=-$\frac{4}{3}$x+4
设OE=m，∵点M在直线AC上，∴M（m，-$\frac{4}{3}$m+4）；
点P的横坐标为m，点P在二次函数y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4的图象上，设P（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+4），
∴PM=（-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+4）-（-$\frac{4}{3}$m+4）=-$\frac{4}{3}$m²+4m=-$\frac{4}{3}$（m-$\frac{3}{2}$）²+3（0＜m＜3），
∴当m=$\frac{3}{2}$时，PM取最大值3；  
（3）在CD上方的二次函数的图象部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．
理由如下：
设点P的横坐标为m，
由题意可得：AE=3-m，EM=4-$\frac{4}{3}$m，FC=m，PF=-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+4-4=-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m．
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
①若△PFC∽△AEM，则$\frac{PF}{AE}$=$\frac{FC}{EM}$，即$\frac{-\frac{4}{3}{m}^{2}+\frac{8}{3}m}{3-m}$=$\frac{m}{4-\frac{4}{3}m}$，
∵m≠0且m≠3，
∴m=$\frac{23}{16}$．
此时△PCM为直角三角形；
②若△CFP∽△AEM，则$\frac{FC}{AE}$=$\frac{PF}{EM}$，即$\frac{m}{3-m}$=$\frac{-\frac{4}{3}{m}^{2}+\frac{8}{3}m}{4-\frac{4}{3}m}$，
∵m≠0且m≠3，
∴m=1．
此时△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使以P、C、F为顶点的三角形与△AEM相似．此时点P的横坐标为$\frac{23}{16}$或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数是解题关键；利用相似三角形的性质得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．