Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是斜边AB上一个动点（不与A、B重合），连接PC，点D是PC的中点，连接BD并延长至E，使DE=BD，连接EA、EP、EC．
（1）求证：四边形PBCE是平行四边形；
（2）当四边形PCEA不是梯形时，AP=BP（填“＜”、“=”、“＞”中的一个）；此时四边形PCEA是菱形（填“平行四边形”、“菱形”、“正方形”中的一个），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
（2）先证明四边形APCE是平行四边形，再证明PA=PC即可解决问题．

解答 （1）证明：∵D是PC的中点，
∴CD=DP，
又∵DB=DE，
∴四边形PBCE是平行四边形．
（2）∵四边形PCEA不是梯形时，CE∥AP，
∴AE∥PC，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP=EC，
∵四边形PBCE是平行四边形，
∴EC=PB，
∴AP=BP，
∵∠ACB=90°，
∴PC=PA=PB，
∵四边形PBCE是平行四边形，又PA=PC，
∴四边形APCE是菱形．
故答案分别为=，菱形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，熟练掌握平行四边形、菱形的判定方法是解题的关键，属于中考常考题型．