Question

11．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD₁E₁，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD₁与CE₁的交点为P．
（1）求证：BD₁=CE₁；
（2）当∠CPD₁=2∠CAD₁时，求CE₁的长；
（3）连接PA，△PAB面积的最大值为2+2$\sqrt{3}$．（直接填写结果）

Answer 1

分析 （1）由旋转得到△ABD₁≌△ACE₁的条件即可；
（2）由（1）的结论，在利用勾股定理计算即可；
（3）作出辅助线，利用勾股定理建立方程求出即可．

解答 解：（1）在△ABD₁和△ACE₁中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CA{E}_{1}=∠BA{D}_{1}}\\{A{E}_{1}=A{D}_{1}}\end{array}\right.$            
∴△ABD₁≌△ACE₁
∴BD₁=CE₁                   
（2）延长BA交D₁E₁于F，如图，

由（1）知△ABD₁≌△ACE₁，
可证∠CPD₁=90°
∴∠CAD₁=45°，
∴∠BAD₁=135°
∴∠D₁AF=45°=∠AD₁E₁，
∴AF=D₁F=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{AD}_{1}}^{2}{+A{E}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
∵∠AFD₁=90°，
∴BD₁=2$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．
（3）如图

作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，
则BD1=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠ABP=30°，
∴PB=2+2$\sqrt{3}$，
∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+$\sqrt{3}$．
∴△PAB的面积最大值为$\frac{1}{2}$AB×PG=2+2$\sqrt{3}$，
故答案为2+2$\sqrt{3}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理得应用，作出辅助线是解本题的关键．