Question

13．如图，在四边形ACDB中，AC=CD，∠ACD=∠ABD=90°，∠BCD=30°，BD=$\sqrt{2}$，求BC的长．

Answer 1

分析 如图延长BA到E，使得AE=BD．作DE⊥BC于F．由△CAE≌△CDB，推出CE=CB，∠ACE=∠DCB，∠ECB=∠ACD=90°，推出△ECB是等腰直角三角形，推出∠EBC=45°，∠CBD=45°，由BD=$\sqrt{2}$，推出BF=DF=1，在Rt△CFD中，由∠CFD=90°，DF=1，∠FCD=30°，可得CF=$\sqrt{3}$DF=$\sqrt{3}$，由此即可解决问题．

解答 解：如图延长BA到E，使得AE=BD．作DE⊥BC于F．
∵∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠CAB+∠CDB=180°，
∵∠CAE+∠CAD=180°，
∴∠CAE=∠CDB，
在△CAE和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△CDB，
∴CE=CB，∠ACE=∠DCB，
∴∠ECB=∠ACD=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴∠EBC=45°，
∴∠CBD=45°，
∵BD=$\sqrt{2}$，
∴BF=DF=1，
在Rt△CFD中，∵∠CFD=90°，DF=1，∠FCD=30°，
∴CF=$\sqrt{3}$DF=$\sqrt{3}$，
∴BC=CF+BF=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，熟练掌握特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．