Question

8．等腰△ABC中，AC=BC，∠ABC=α．
（1）如图1，CD⊥AB于D，作BC的垂直平分线交AB于E，若AB=8，AC=5，求BE的值；
（2）如图2，若BQ平分∠ABC，分别过C、Q作BC、BQ的垂线，相交于P点，当α=30°时，试探究PQ、BQ、CQ三边的关系；
（3）若将图2中∠PCB、∠PQB都改为120°，当α=20°时，其他条件不变，试探究PQ、BQ、CQ三边的关系．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4，由勾股定理得到CD=3，由线段垂直平分线的性质得到CE=BE，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，过C作CD⊥CQ交BQ于D，根据等腰三角形的性质得到∠ACB=120°，根据角平分线的定义得到∠CBQ=15°，推出△CQD是等腰直角三角形，求得DQ=$\sqrt{2}$CQ，根据全等三角形的性质得到BD=PQ，于是得到结论；
（3）如图3，作∠QCD=120°交BQ于D，过C作CH⊥BQ于H，根据角的和差得到∠QCP=∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB=140°，根据全等三角形的性质得到BD=PQ，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AC=BC=5，CD⊥AB，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴CD=3，
∵BC的垂直平分线交AB于E，
∴CE=BE，
∴DE=4-BE，
∵CD²+DE²=CE²，
∴3²+（4-BE）²=BE²，
∴BE=$\frac{25}{8}$；

（2）如图2，过C作CD⊥CQ交BQ于D，
∵AC=BC，∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=15°，
∴∠CQB=45°，
∴△CQD是等腰直角三角形，
∴DQ=$\sqrt{2}$CQ，
∵∠PQB=∠BCP=90°，
∴∠P=∠CBQ=15°，
在△CQP与△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠CBE}\\{∠PQC=∠BDC=135°}\\{CQ=CD}\end{array}\right.$，
∴△CQP≌△CDB，
∴BD=PQ，
∵BQ=BD+DQ，
∴BQ=PQ+$\sqrt{2}$CQ；
（3）如图3，作∠QCD=120°交BQ于D，过C作CH⊥BQ于H，
∵∠PCB=∠PQB=120°，
∴∠QCP=∠BCD，
∵AC=BC，∠ABC=20°，
∴∠ACB=140°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=10°，
∴∠CQB=30°，
∴∠CDQ=30°，
∴CQ=CD，
∴DQ=2QH=$\sqrt{3}$CQ，
在△CQP与△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QCP=∠DCB}\\{CQ=CD}\\{∠PQC=∠BDC=150°}\end{array}\right.$，
∴△CQP≌△CDB，
∴BD=PQ，
∵BQ=BD+DQ，
∴BQ=PQ+$\sqrt{3}$CQ．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．