Question

20．如图，直线l上依次摆放着一系列正方形，斜放置的正方形面积分别为1，2，3，…，n，正放置的正方形面积分别为S₁，S₂，S₃，…，S_n，当n=100时，则S₁+S₂+S₃+…+S₁₀₀等于（　　）

• A． 2500
• B． 2550
• C． 2600
• D． 2800

Answer 1

分析 如图1，根据正方形的性质得AC=CD，∠ACD=90°，再根据等角的余角线段得∠BAC=∠DCE，则可根据“AAS”判定△ACB≌△DCE，得到AB=CE，BC=DE；由勾股定理得AC²=AB²+BC²=AB²+DE²，即S_b=S_a+S_c=5；如图2，由前面的结论可得S₁+S₂=1=1+2×0=1，S₃+S₄=3=1+2×1=3，S₅+S₆=1+2×2=5，…S₉₉+S₁₀₀=99，然后相加得到S₁+S₂+S₃+…+S₁₀₀=2500．

解答 解：如图1，∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
而∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ACB和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠CED}\\{∠BAC=∠DCE}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=AB²+DE²，
即S_b=S_a+S_c=1+4=5；
如图2，由前面的结论可得S₁+S₂=1=1+2×0=1，
S₃+S₄=3=1+2×1=3，
S₅+S₆=1+2×2=5，
…
S₉₉+S₁₀₀=99，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₁₀₀=1+3+5+…+99=2500．
故选：A．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质．