Question

11．如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF，且CF=EF．
（1）若∠CFD=55°，求∠BCD的度数；
（2）求证：∠EFC=2∠CFD；
（3）求证：CE⊥AB．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠BCF=∠CFD=55°，求出DF=DC，根据等腰三角形的性质得出∠DCF=∠CFD=55°，即可求出答案；
（2）延长EF和CD交于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A=∠FDM，证△EAF≌△MDF，推出EF=MF，求出CF=MF，求出∠M=∠FCD=∠CFD，根据三角形的外角性质求出即可；
（3）求出∠ECD=90°，根据平行线的性质得出∠BEC=∠ECD，即可得出答案．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠CFD=55°，
∴∠BCF=∠CFD=55°，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AD=2DC，
∵F为AD的中点，
∴AF=DF，AD=2DF，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠CFD=55°，
∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=55°+55°=110°；

（2）证明：延长EF和CD交于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠FDM，
在△EAF和△MDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDM}\\{AF=DF}\\{∠AFE=∠DFM}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△MDF（ASA），
∴EF=MF，
∵EF=CF，
∴CF=MF，
∴∠FCD=∠M，
∵由（1）知：∠DFC=∠FCD，
∴∠M=∠FCD=∠CFD，
∵∠EFC=∠M+∠FCD=2∠CFD；

（3）解：∵EF=FM=CF，
∴∠ECM=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECM=90°，
∴CE⊥AB．

点评 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．