Question

4．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，O为AB延长线上的点，以⊙O为圆心，OB为半径作O，交CB的延长线于D，⊙O与直线AC切于点T，作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径r=3，CE=9，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等腰三角形的性质即可求得∠C=∠ODB，进而求得∠C+∠EDC=∠ODB+∠EDC=90°，即∠ODE=90°，即可证得DE是⊙O的切线；
（2）连接OT，证得四边形ODET是正方形，得出DE=ET=r=3，设AB=AC=x，则AT=9-3-x=6-x，OA=r+x=3+x，然后根据勾股定理得出（3+x）=3²+（6-x）²，解方程即可求得AB的长．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠C=∠ABC，∠OBD=∠ODB，
∵∠ABC=∠OBD，
∴∠C=∠ODB，
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠EDC=90°，
∴∠ODB+∠EDC=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OT，
∵⊙O与直线AC切于点T，
∴OT⊥AE，
∵∠ODC=∠E=90°，
∴四边形ODET是矩形，
∵OD=OT，
∴四边形ODET是正方形，
∴DE=ET=r=3，
设AB=AC=x，则AT=EC-ET-AC=9-3-x=6-x，OA=r+x=3+x，
在RT△OAT中，OA²=OT²+TA²，
即（3+x）=3²+（6-x）²，
解得x=2，
∴AB=2．

点评 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线，证得四边形ODET是正方形是解题的关键．