Question

4．如图，E为（8，0），C是线段OE上一动点（不包括两个端点），分别以OC、CE为斜边，在第一象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△CDE，其中∠OBC=∠CDE=90°．设OC=a
（1）请表示B，D两点的坐标．（用含字母a的代数式表示）；
（2）若OC：OE=3：1时，求直线BD的解析式；
（3）若两等腰直角三角形与一次函数y=-$\frac{1}{3}$x+3恰好有四个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图，过点B作BM⊥OC于M，过点D作DN⊥CE于N，则∠BMO=∠CND=90°，利用等腰三角形的性质求出OM=BM=$\frac{a}{2}$，CN=DN=$\frac{8-a}{2}$=4-$\frac{a}{2}$，ON=OC+CN=a+$\frac{8-a}{2}=4+\frac{a}{2}$，即可解答．
（2）求出B（3，3），D（7，1），利用待定系数法求出直线BD的解析式，即可解答．
（3）根据只要直线BD的B点、D点均在一次函数y=-$\frac{x}{3}$+3的上方时，则一次函数与直线BD就恰好有四个交点，得到-$\frac{1}{3}•\frac{a}{2}+3＜\frac{a}{2}$ ①，-$\frac{1}{3}•（4+\frac{a}{2}）+3＜4-\frac{a}{2}$ ②，即可解答．

解答 解：（1）如图，过点B作BM⊥OC于M，过点D作DN⊥CE于N，
则∠BMO=∠CND=90°，

∵等腰Rt△OBC和等腰Rt△CDE，其中∠OBC=∠CDE=90°．
∴BM垂直平分OC，DN垂直平分CE，且Rt△BMO为等腰直角三角形，Rt△DNC为等腰直角三角形，
∵OC=a，E（8，0），
∴CE=8-a，
∴OM=BM=$\frac{a}{2}$，CN=DN=$\frac{8-a}{2}$=4-$\frac{a}{2}$，
∴ON=OC+CN=a+$\frac{8-a}{2}=4+\frac{a}{2}$，
∴B（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），D（4+$\frac{a}{2}$，4-$\frac{a}{2}$）．
（2）若OC：CE=3：1，
∵OE=8，
∴OC=6，CE=2，
∴B（3，3），D（7，1），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=3}\\{7k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$．
∴直线BD的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$．
（3）一次函数y=-$\frac{x}{3}$+3，
∴该函数与x轴的交点P为（9，0），
该函数与x轴的交点Q为（0，3），
∴OQ=3，OP=9，
∴OP＞OE，
∴只要直线BD的B点、D点均在一次函数y=-$\frac{x}{3}$+3的上方时，则一次函数与直线BD就恰好有四个交点，
由（1）得：B（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），D（4+$\frac{a}{2}$，4-$\frac{a}{2}$）．
∴-$\frac{1}{3}•\frac{a}{2}+3＜\frac{a}{2}$  ①
-$\frac{1}{3}•（4+\frac{a}{2}）+3＜4-\frac{a}{2}$   ②
由①得：a＞$\frac{9}{2}$，
由②得：a＜7，
∴$\frac{9}{2}$＜a＜7．

点评 本题考查了求一次函数的解析式、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线，结合图象进行解决问题．