Question

14．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，D是AC上一点，∠CBD=∠A，sin∠CDB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据在△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，D是AC上一点，∠CBD=∠A，可以求得∠ABC的正弦值，∠ABC与∠CDB的关系，从而可以解答本题．

解答 解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，
∴设BC=x，则AC=2x，
∴$AB=\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2x）^{2}}=\sqrt{5}x$，
∴sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，∠CBD=∠A，
∴∠CDB=∠ABC，
∴sin∠CDB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键明确等角的锐角三角函数值相等．