Question

13．在平面直角坐标系中，已知A（1，-3），B（4，-1），P（a，0），N（a+2，0）．请用作图的方式在x轴上确定P、N的位置，使得四边形PABN的周长最小（保留作图痕迹，不写作法）

Answer 1

分析 如图，作点B关于x轴的对称点B′，则B′的坐标为（4，1），把B′向左平移2个单位得到点A'（2，1），连接AA′，与x轴交于点P，把P向右平移2个单位得到N，于是得到PN=A′B′=2，推出四边形A′B′PN为平行四边形，根据平行四边形的性质得到PB′=A′N，PB=PB′，得到PB=NA′，于是推出PB+AN=AA′，此时PB+AN最小，而PN与AB的长一定，此时四边形ABDC的周长最短．

解答 解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，则B′的坐标为（4，1），把B′向左平移2个单位得到点A'（4，2），连接AA′，与x轴交于点N，把N向右平移2个单位得到P，′
则四边形PABN的周长最小．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．