Question

3．若m，n为正实数，t是关于x的方程x²+2mx=n²的一正实数根，
①求证：（t+m）²=m²+n²
②若两条线段的长分别为m、n（如图）．请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹．不写作法）．

Answer 1

分析 ①根据配方法解关于x的方程x²+2mx=n²得到（x+m）²═m²+n²，再根据t是关于x的方程x²+2mx=n²的一正实数根即可求解；
②利用勾股定理画出$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，再在长为$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$的线段上截取长为m的线段，剩余部分就是长为t的线段．

解答 ①证明：解关于x的方程x²+2mx=n²：
x²+2mx+m²=m²+n²
（x+m）²═m²+n²，
∵t是关于x的方程x²+2mx=n²的一正实数根，
∴（t+m）²=m²+n²；
②解：作图如下：

点评 本题考查了作图-复杂作图，解一元二次方程、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点的内涵及其应用方法．