Question

18．如图，已知点A₁、A₂、A₃、…、A_n在x轴上，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃═A_n-1A_n=1，分别过点A₁、A₂、A₃、…、A_n作x轴的垂线，交反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象于点B₁、B₂、B₃、…、B_n，过点B₂作B₂P₁⊥A₁B₁于点P₁，过点B₃作B₃P₂⊥A₂B₂于点P₂，…，若记△B₁P₁B₂的面积为S₁，△B₂P₂B₃的面积为S₂，…，△B_nP_nB_n+1的面积为S_n，则S₁+S₂+…+S₂₀₁₇=$\frac{2017}{2018}$．

Answer 1

分析 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B₁、B₂、B₃、…、B_n的坐标，从而可得出B₁P₁、B₂P₂、B₃P₃、…、B_nP_n的长度，根据三角形的面积公式即可得出S_n=$\frac{1}{2}$A_nA_n+1•B_nP_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，将其代入S₁+S₂+…+S₂₀₁₇中即可得出结论．

解答 解：根据题意可知：点B₁（1，2）、B₂（2，1）、B₃（3，$\frac{2}{3}$）、…、B_n（n，$\frac{2}{n}$），
∴B₁P₁=2-1=1，B₂P₂=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，B₃P₃=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，…，B_nP_n=$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴S_n=$\frac{1}{2}$A_nA_n+1•B_nP_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴S₁+S₂+…+S₂₀₁₇=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．
故答案为：$\frac{2017}{2018}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，根据反比例函数图象上点的坐标特征结合三角形的面积找出S_n=$\frac{1}{2}$A_nA_n+1•B_nP_n=$\frac{1}{n（n+1）}$是解题的关键．