Question

8．如图，△BCD内有一点A，∠ABC=15°，△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，BD=7，AB=3，则BC的长为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据旋转的性质得到BC=CB′，∠BCB′=90°，DB′=AB=3，∠CB′D=∠ABC=15°，推出△BCB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BB′C=45°，求得∠BB′D=60°，过D作DE⊥BB′于E，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：∵△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴把△ABC绕着点C顺时针旋转90°，得△CB′D，则A与D重合，
∴BC=CB′，∠BCB′=90°，DB′=AB=3，∠CB′D=∠ABC=15°，
∴△BCB′是等腰直角三角形，
∴∠BB′C=45°，
∴∠BB′D=60°，
过D作DE⊥BB′于E，
∴B′E=$\frac{3}{2}$，DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵BD=7，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
∴BB′=8，
∴BC=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．