Question

15．已知如图所示，⊙O₁与⊙O₂外切于点T，过点T作直线分别交⊙O₁，⊙O₂于A、B两点，⊙O₁，⊙O₂的半径分别是2和3，求AT：BT的值．

Answer 1

分析 连接AO₁．O₁O₂，BO₂，作出两圆的公切线EF，必然过点T，利用弦切角等于夹弧所对的圆心角的一半及对顶角相等，等量代换得到一对角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△ATO₁∽△BTO₂，由相似得比例即可得到结果．

解答 解：连接AO₁．O₁O₂，BO₂，则O₁O₂必然过T，作出两圆的公切线EF，必然过点T，
∵∠ATE=$\frac{1}{2}$∠AO₁T，∠BTF=$\frac{1}{2}$∠BO₂T，∠ATE=∠BTF，
∴∠AO₁T=∠BO₂T，
∵∠ATO₁=∠BTO₂，
∴△ATO₁∽△BTO₂，
则AT：BT=O₁A：O₂B=2：3．

点评 此题考查了相切两圆的性质，弦切角性质，相似三角形的判定与性质，作出相应的辅助线是解本题的关键．