Question

1．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个矩形的直径．如图，△ABC中．∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，可以得到损矩形ABCD，连接BD，则有∠DBC=∠DAC，∠DBC=60°，∠ACB=15°
（1）点M是AC中点，连接BM，DM，判断△MBD的形状，并说明理由．
（2）若BD=2$\sqrt{3}$，求：菱形ACEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出AE⊥CF，AD=$\frac{1}{2}$AE，CD=$\frac{1}{2}$CF，由直角三角形斜边上的中线性质得出DM=BM=CM，得出∠BDM=∠DBM，∠MBC=∠ACB=15°，求出∠DBM=∠BDM=45°，证出∠BMD=90°即可；
（2）由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{6}$，得出AC=2$\sqrt{6}$，由含30°角的直角三角形的性质得出AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{6}$，得出CD=3$\sqrt{2}$，求出AE=2AD=2$\sqrt{6}$，CF=2CD=6$\sqrt{2}$，即可得出结果．

解答 解：（1）△MBD是等腰直角三角形；理由如下：
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，AD=$\frac{1}{2}$AE，CD=$\frac{1}{2}$CF，
∴∠ADC=90°=∠ABC，
∵点M是AC中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC=AM=CM，BM=$\frac{1}{2}$AC=CM，
∴DM=BM=CM，
∴∠BDM=∠DBM，∠MBC=∠ACB=15°，
∵∠DBC=60°，
∴∠DBM=∠BDM=60°-15°=45°，
∴∠BMD=90°，
∴△MBD是等腰直角三角形；
（2）由（1）得：△MBD是等腰直角三角形，
∴BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{6}$，
∴AC=2$\sqrt{6}$，
∵∠DBC=∠DAC=60°，
∴∠ACD=90°-60°=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{6}$，CD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$×$\sqrt{6}$=3$\sqrt{2}$，
∴AE=2AD=2$\sqrt{6}$，CF=2CD=6$\sqrt{2}$，
∴菱形ACEF的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×6$\sqrt{2}$=12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．