Question

17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，若AC=6，BC=8，则MN=2．

Answer 1

分析 延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，证明△BMC≌△BMG，得到BG=BC=8，CM=MG，同理得到AH=AC=6，CN=NH，根据三角形中位线定理计算即可．

解答 解：延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
在△BMC和△BMG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBC=∠MBG}\\{BM=MB}\\{∠BMC=∠BMG}\end{array}\right.$，
∴△BMC≌△BMG，
∴BG=BC=8，CM=MG，
∴AG=2，
同理，AH=AC=6，CN=NH，
∴GH=4，
∴MN=$\frac{1}{2}$GH=2，
故答案为：2．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．