Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C’处，作么BPC'的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，给出如下结论：
①∠BPC=∠CDC'；
②y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x；
③当点P为BC的中点时，△BPE为等腰直角三角形；
④当y取最值时，△DCP的面积是矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$．
其中正确结论的序号是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 连接DE，根据折叠的性质可得∠CPD=∠C′PD，再根据角平分线的定义可得∠BPE=∠C′PE，然后证明∠DPE=90°，从而得到△DPE是直角三角形，再分别表示出AE、CP的长度，然后利用勾股定理进行列式整理即可得到y与x的函数关系式，即可得解．

解答 解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，
∴∠C′=∠C=90°，∠CPD=∠C′PD，
∴∠CDC′+∠CPC′=∠CPC′+∠BPC′=180°，
∠BPC′=∠CDC'；故①正确；
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP=x，BE=y，AB=3，BC=5，
∴AE=AB-BE=3-y，CP=BC-BP=5-x，
在Rt△BEP中，PE²=BP²+BE²=x²+y²，
在Rt△ADE中，DE²=AE²+AD²=（3-y）²+5²，
在Rt△PCD中，PD²=PC²+CD²=（5-x）²+3²，
在Rt△PDE中，DE²=PE²+PD²，
则（3-y）²+5²=x²+y²+（5-x）²+3²，
整理得，-6y=2x²-10x，
所以y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x（0＜x＜5），故②正确；
∵∠BPE=∠C′PE，∠CPD=∠C′PD，
∴∠BPE+∠CPD=90°，
∵点P为BC的中点，
∴CP=$\frac{5}{2}$，∵CD=AB=3，
∴CP≠CD，
∴∠CPD≠45°，
∴∠BPE≠45°，
∴△BPE不是等腰直角三角形，故③错误；
∵y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x=-$\frac{1}{3}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{12}$，
∴x=$\frac{5}{2}$时．y取最大值，
∴PB=$\frac{5}{2}$，
∴PC=$\frac{5}{2}$，
∴△DCP的面积=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{2}$×4=5，矩形ABCD面积=4×5=20，
∴△DCP的面积是矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$．故④正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理的应用，作出辅助线并证明得到直角三角形，熟练正确折叠的性质是解题的关键．