Question

14．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）尝试探究：
结论1：DM、MN的数量关系是DM=MN；
结论2：DM、MN的位置关系是DM⊥MN；
（2）猜想论证：证明你的结论．
（3）拓展：如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）写出结论1和2；
（2）结论1，根据三角形中位线得：MN=$\frac{1}{2}AE$，根据直角三角形斜边中线得：DM=$\frac{1}{2}$AF，证明△ABE≌△ADF可以得出结论；
结论2：主要证明∠NMD=∠BAD=90°即可；
（3）连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=$\frac{1}{2}$AE，再有（1）的结论以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．

解答 解：（1）结论1：DM、MN的数量关系是：DM=MN，
结论2：DM、MN的位置关系是：DM⊥MN，
故答案为：DM=MN，DM⊥MN；
（2）结论1：DM=MN，理由是：
如图1，∵M是AF的中点，N是EF的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠B=90°，AB=AD=BC=CD，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF，
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴EC=FC，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∴DM=MN；
结论2，DM、MN的位置关系是：DM⊥MN，理由是：
如图1，∵M是AF的中点，N是EF的中点，
∴MN∥AE，
∴∠NMF=∠EAF，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，
Rt△ADF中，∵M是AF的中点，
∴AM=DM，
∴∠FAD=∠MDA，
∵∠FMD=∠FAD+∠MDA=∠FAD+∠BAE，
∴∠DMN=∠NMF+∠FMD=∠EAF+∠BAE+∠FAD=90°，
∴DM⊥MN；
（3）（2）中的两个结论还成立，
证明：连接AE，交MD于点G，
∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，
∴MN∥AE，MN=$\frac{1}{2}$AE，
由（1）同理可证，
AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，
又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
在Rt△ADF中，
∵点M为AF的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF，
∴DM=MN，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DF，
∴∠1=∠3，
同理可证：∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
∵DM=AM，
∴∠MAD=∠5，
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，
∵MN∥AE，
∴∠DMN=∠DGE=90°，
∴DM⊥MN．

点评 本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是利用好各小题之间的联系，此题难度不大，但是角与角之间的数量关系有点复杂，请同学们解答的时候注意．