Question

16．已知两直线l₁：y₁=k₁x+b₁，l₂：y₂=k₂x+b₂，若l₁⊥l₂，则有k₁•k₂=-1．
（1）应用：已知y=2x+1与y=kx-1垂直，则k=-$\frac{1}{2}$；
（2）直线l经过A（2，3），且与直线y=-$\frac{1}{3}$x+3垂直，求直线l解析式；
（3）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，求线段AB的垂直平分线CD的解析式．

Answer 1

分析 （1）由y=2x+1与y=kx-1垂直可得出2k=-1，解之即可得出结论；
（2）设直线l解析式为y=ax+b，根据直线l与直线y=-$\frac{1}{3}$x+3垂直可得出-$\frac{1}{3}$a=-1，解之即可得出a值，再根据点A的坐标利用待定系数法即可求出直线l解析式；
（3）根据OA、OB的长度可得出点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，由点C为线段AB的中点可得出点C的坐标，根据AB⊥直线CD可求出直线CD解析式一次项系数，再根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．

解答 解：（1）∵y=2x+1与y=kx-1垂直，
∴2k=-1，
解得：k=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．
（2）设直线l解析式为y=ax+b，
∵直线l与直线y=-$\frac{1}{3}$x+3垂直，
∴-$\frac{1}{3}$a=-1，
解得：a=3．
将A（2，3）代入y=3x+b，
3=3×2+b，解得：b=-3，
∴直线l解析式为y=3x-3．
（3）∵Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，
∴点A（6，0），点B（0，8）．
又∵点C为线段AB的中点，
∴点C（3，4）．
设直线AB的解析式为y₁=k₁x+b₁，直线CD的解析式为y₂=k₂x+b₂，
将点A（6，0）、B（0，8）代入y₁=k₁x+b₁，
$\left\{\begin{array}{l}{6{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{{b}_{1}=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{4}{3}}\\{{b}_{1}=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8．
∵直线AB⊥直线CD，
∴k₁•k₂=-1，
∴k₂=$\frac{3}{4}$．
将点C（3，4）代入y₂=$\frac{3}{4}$x+b₂，
4=$\frac{3}{4}$×3+b₂，解得：b₂=$\frac{7}{4}$，
∴直线CD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、线段垂直平分线的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据y=2x+1与y=kx-1垂直找出2k=-1；（2）根据直线l与直线y=-$\frac{1}{3}$x+3垂直求出直线l一次项系数的值；（3）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式．