Question

11．阅读下面材料，解答问题：
为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将（x²-1）看作一个整体，然后设x²-1=y，那么原方程可化为y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²-1=1，∴x²=2，x=±$\sqrt{2}$；
当y=4时，x²-1=4，∴x²=5，x=±$\sqrt{5}$．
故原方程的解为：x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$．
上述解题方法叫做换元法．
（1）请利用换元法解方程：（x²-x）²-5（x²-x）-6=0．
（2）解方程：2x²-6x-$\frac{6}{{{x^2}-3x}}$=-1．
（3）解方程：$\sqrt{2{x^2}+6x+1}$-x²-3x+7=0．

Answer 1

分析 （1）把原方程中的（x²-x）代换成y，即可得到关于y的方程，解之得到y的值，再分别求解关于x的方程即可得；
（2）设x²-3x=y，得到关于y的方程，解之得到y的值，再分别解关于x的方程即可；
（3）设x²+3x=y，得到关于y的方程，解之得到y的值，再分别解关于x的方程即可．

解答 解：（1）设x²-x=y，则原方程可化为：y²-5y-6=0，解得：y=-1或y=6，
当y=-1时，x²-x=-1，即x²-x+1=0，由△=（-1）²-4×1×1=-3＜0知方程无解；
当y=6时，x²-x=6，即x²-x-6=0，由（x+2）（x-3）=0得x₁=-2、x₂=3；

（2）设x²-3x=y，则原方程可化为2y-$\frac{6}{y}$=-1，
整理得：2y²+y-6=0，即（y+2）（2y-3）=0，
解得：y=-2或y=$\frac{3}{2}$；
当y=-2时，x²-3x=-2，即x²-3x+2=0，由（x-1）（x-2）=0，解得：x=1或x=2；
当y=$\frac{3}{2}$时，x²-3x=$\frac{3}{2}$，即2x²-6x-3=0，解得：x=$\frac{3±\sqrt{15}}{2}$．

（3）设x²+3x=y，则原方程可化为$\sqrt{2y+1}$-y+7=0，
整理，得：y²-16y+48=0，
解得：y=4或y=12，
当y=4时，x²+3x=4，解得：x=1或x=-4；
当y=12时，x²+3x=12，解得：x=$\frac{-3±\sqrt{57}}{2}$．

点评 本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．