问题探究:(1)如图1.请在半径为R的半圆O内.画出面积最大的三角形.并求出这个三角形的面积,(2)如图2.请在半径为R的⊙O内.画出面积最大的矩形ABCD.并求出这个矩形的面积,问题解决:(3)如图3.△ABC是一块商业用地.其中AB=20.BC=30.∠ABC=120°.某开发商现准备再征一块地.把△ABC扩充为四边形ABCD.使∠D=30°.是否存在面积最大的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．问题探究：
（1）如图1，请在半径为R的半圆O内（含弧和直径MN），画出面积最大的三角形，并求出这个三角形的面积；
（2）如图2，请在半径为R的⊙O内（含弧），画出面积最大的矩形ABCD，并求出这个矩形的面积；
问题解决：
（3）如图3，△ABC是一块商业用地，其中AB=20，BC=30，∠ABC=120°，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D=30°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）

分析（1）过圆心O作直径的垂线得到最大的△AMN，求面积即可；
（2）作两条互相垂直的直径，作对角线，连成的四边形即为最大的矩形，求其面积即可；
（3）如图3，过A作AE⊥BC，交CB的延长线于E，分别求出EC、AE、AC的长，求△ABC的面积，在△ACD中，AC是定值，∠D=30°是定值，画△ACD的外接圆O，由图3可知：当D点与AC的距离最大时，△ADC的面积最大，设AC的中垂线交⊙O于D′，交AC于F，则D′F即为D点与AC的最大距离，求出D′F=OF+OD′=5$\sqrt{57}$+10$\sqrt{19}$，代入面积公式求面积即可．

解答解：（1）如图1，过O作AO⊥MN，交⊙O于A，
连接AM、AN，
则△AMN即为所求，
S_△AMN=$\frac{1}{2}$MN•OA=$\frac{1}{2}$•2R•R=R²；
（2）如图2，过O作⊙O的任一直径AC，再过O作BD⊥AC，交⊙O于D、B，
则矩形ABCD即为所求，
∴S_矩形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$•2R•R+$\frac{1}{2}$•2R•R=2R²；
（3）存在面积最大的四边形ABCD，
理由如下：如图3，过A作AE⊥BC，交CB的延长线于E，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=180°-120°=60°，
∵AB=20，
sin60°=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=AB•sin60°=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$，EB=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$×$30×10\sqrt{3}$=150$\sqrt{3}$，
∵EC=EB+BC=10+30=40，
∴AC=$\sqrt{（10\sqrt{3}）^{2}+4{0}^{2}}$=10$\sqrt{19}$，
在△ACD中，AC是定值，∠D=30°是定值，
故如图3，A、C、D三点在同一圆O上（作AC、CD的中垂线，交点即为圆心O），
∵AC的长度一定，
∴当D点与AC的距离最大时，△ADC的面积最大，
设AC的中垂线交⊙O于D′，交AC于F，则D′F即为D点与AC的最大距离，
∵∠AD′C=∠D=30°，
连接OA、OC，则∠AOC=2∠AD′C=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，OA=AC=10$\sqrt{19}$，
AF=FC=5$\sqrt{19}$，
∴OD′=OA=10$\sqrt{19}$，
在Rt△AFO中，tan∠OAF=tan60°=$\frac{OF}{AF}$，
∴OF=$\sqrt{3}$×$5\sqrt{19}$=5$\sqrt{57}$，
∴D′F=OF+OD′=5$\sqrt{57}$+10$\sqrt{19}$，
∴S_△AD′C=$\frac{1}{2}$AC•D′F=$\frac{1}{2}$×$10\sqrt{19}$×$（5\sqrt{57}+10\sqrt{19}）$=950+475$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△AD′C=150$\sqrt{3}$+950+475$\sqrt{3}$=950+625$\sqrt{3}$，
则四边形ABCD的最大面积是950+625$\sqrt{3}$．