Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，CD平分∠ACB，E在AC上，且AE=AD，EF⊥CD交BC于点F，交CD于点O．求证：BF=2AD．

Answer 1

分析 连接DF，证明四边形CEDF是平行四边形，再证出四边形CEDF为菱形，得出DF∥CE，DF=CE=CF=DE，由等腰直角三角形的性质得出BF=$\sqrt{2}$DF，DE=$\sqrt{2}$AD，即可得出结论．

解答 证明：连接DF，如图所示：
∵AD=AE，AB=AC，
∴AD：AB=AE：AC，
∴DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠DCE，
∴DE=CE，
∵EF⊥CD，
∴OD=OC，
∵DE∥CF，
∴OE=OF，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF为菱形，
∴DF∥CE，DF=CE=CF=DE，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴DF⊥AB，∠B=45°，
∴BF=$\sqrt{2}$DF，
∵AD=AE，∠A=90°，
∴DE=$\sqrt{2}$AD，
∴BF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$AD=2AD．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．