Question

3．已知点A（a，b），设点A关于原点的对称点为A′，点A′于直线y=x的对称点为A″，而点A″关于x轴的对称点为A″′，点A和点A″的距离等于$\sqrt{2}$，点A和点A″的距离等于2，试求出点A的坐标．

Answer 1

分析 根据点的对称性分别求得对应点的坐标，然后根据两点间的距离公式即可得到结论．

解答 解：设点A关于原点的对称点为A′（-a，-b），
点A′于直线y=x的对称点为A″（-b，-a），
点A″关于x轴的对称点为A″′（-b，a），
∵点A和点A″的距离等于$\sqrt{2}$，
∴|AA′″|=$\sqrt{（-b-a）^{2}+（b-a）^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}+2{b}^{2}}$，
即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=1，a²+b²=1，
∴|AA″|=$\sqrt{（a+b）^{2}+（a+b）^{2}}$=$\sqrt{2}$|a+b|=2，
∴|a+b|=$\sqrt{2}$，即a²+2ab+b²=2，
∴2ab=1，
解得：a=b=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴点A的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标，两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解题的关键．