Question

如图，BD=AC，M、N分别为AD、BC的中点，AC、BD交于E，MN与BD、AC分别交于点F、G，求证：EF=EG．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：证明题

分析：取CD的中点H，连接MH、NH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MH∥AC，MH=

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AC，NH∥BD，NH=

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BD，然后求出MH=NH，∠MNH=∠EGF，∠NMH=∠EFG，根据等边对等角可得∠MNH=∠NMH，从而得到∠EFG=∠FGE，再根据等角对等边可得EF=FG．

解答：证明：如图，取CD的中点H，连接MH、NH，
∵M、N分别为AD、BC的中点，
∴MH、NH分别是△ACD和△BCD的中位线，
∴MH∥AC，MH=

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AC，NH∥BD，NH=

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BD，
∴∠MNH=∠EGF，∠NMH=∠EFG，
又∵BD=AC，
∴MH=NH，
∴∠MNH=∠NMH，
∴∠EFG=∠FGE，
∴EF=EG．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理和性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出三角形的中位线．