Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²-3ax-4a（a＜0）．
（1）求证：无论a为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴的交点坐标为C点，已知△ABC的面积为7.5，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段BN上的任意一点，过点M作直线MD⊥x轴，交抛物线于点D，记点D关于抛物线对称轴的对称点为E，点P是线段MD上一点，且满足MD=3DP，连结DE，PE，作PF⊥PE交x轴于点F，问是否存在这样的点F，使得PF=PE？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明无论a为何值，该抛物线与x轴总有两个交点，只要证明△＞0即可；
（2）对于抛物线y=ax²-3ax-4a（a＜0），令y=0，ax²-3ax-4a=0，解得x=-1或4，推出A（-1，0），B（4，0），令x=0，y=-4a，推出C（0，-4a），由题意$\frac{1}{2}$•5•（-4a）=7.5，求出a即可解决问题；
（3）如图，假设存在，MD=3DP，设DP=m，则DM=3m，PM=2m．由△EDP≌△PMF，推出DE=PM=2m，易知NM=m，可得D（$\frac{3}{2}$+m，3m），把点D（$\frac{3}{2}$+m，3m）代入y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．得到3m=-$\frac{3}{4}$（$\frac{3}{2}$+m）²+$\frac{9}{4}$（$\frac{3}{2}$+m）+3，解方程即可解决问题；

解答 解：（1）对于抛物线y=ax²-3ax-4a（a＜0），
∵△=（-3a）²-4•a•（-4a）=9a²+16a²=25a²，
∵a＜0，
∴△＞0，
∴无论a为何值，该抛物线与x轴总有两个交点．

（2）对于抛物线y=ax²-3ax-4a（a＜0），
令y=0，ax²-3ax-4a=0，解得x=-1或4，
∴A（-1，0），B（4，0），
令x=0，y=-4a，
∴C（0，-4a），
由题意$\frac{1}{2}$•5•（-4a）=7.5，
∴a=-$\frac{3}{4}$，
∴此抛物线的解析式y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．

（3）如图，假设存在，MD=3DP，设DP=m，则DM=3m，PM=2m．

∵PE=PF，
∵PE⊥PF，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPD+∠FPM=90°，
∵∠EPD+∠PED=90°，
∴∠PED=∠FPM，∵∠EDP=∠PMF，
∴△EDP≌△PMF，
∴DE=PM=2m，易知NM=m，
∴D（$\frac{3}{2}$+m，3m），把点D（$\frac{3}{2}$+m，3m）代入y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．
∴3m=-$\frac{3}{4}$（$\frac{3}{2}$+m）²+$\frac{9}{4}$（$\frac{3}{2}$+m）+3，
解得m=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$（舍弃），
∴D（$\frac{\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-9+3\sqrt{41}}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．