Question

18．如图，点P是y轴正半轴上的一动点，过点P作AB∥x轴，分别交反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）与y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象于点A，B，连接OA，OB，则以下结论：①AP=2BP；②∠AOP=2∠BOP；③△AOB的面积为定值；④△AOB是等腰三角形，其中一定正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设P的坐标为（0，m），过点A、B作AC⊥x轴于点C、BD⊥x轴于点D，分别求出C、D的坐标，根据OA、OB、AB的长度即可判断．

解答 解：设P的坐标为（0，b），b＞0
过点A、B作AC⊥x轴于点C、BD⊥x轴于点D，
令y=m分别代入y=-$\frac{2}{x}$，y=$\frac{1}{x}$，
∴A（$-\frac{2}{b}$，b），B（$\frac{1}{b}$，b）
∴AB=$\frac{3}{b}$，AP=$\frac{2}{b}$，BP=$\frac{1}{b}$，
∴AP=2AB，故①正确；
tan∠AOP=$\frac{AP}{OP}$=$\frac{2}{{b}^{2}}$，tan∠BOP=$\frac{BP}{OP}$=$\frac{1}{{b}^{2}}$，
∴tan∠AOP=2tan∠BOP，但∠AOP≠BOP，故②错误；
△ABO的面积为：$\frac{1}{2}$AB•OP=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{b}$×b=$\frac{3}{2}$，故③正确；
由勾股定理可知：OA²=$\frac{4}{{b}^{2}}$+b²，OB²=b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$，
∵AB²=$\frac{9}{{b}^{2}}$，
∴OA、OB、OA三边不一定相等，故④错误；
故选（B）

点评 本题考查反比例函数 的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，勾股定理等知识，本题数中等题型．