Question

12．如图，已知AD是△ABC的中线，AM⊥AB，AM=AB，AN⊥AC，AN=AC．求证：MN=2AD．

Answer 1

分析 延长AD至E，使DE=AD，连接BE，根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△BDE和△CDA全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AC=AN，根据全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠DCA，再根据内错角相等，两直线平行求出AC∥BE，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABE+∠BAC=180°，然后求出∠ABE=∠MAN，再利用“边角边”证明△ABE和△MAN全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=MN，即可得出答案．

解答 证明：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{∠BDE=∠ADC}\\{DE=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=AN，∠DBE=∠DCA，
∴AC∥BE，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∵∠BAM=∠CAN=90°，
∴∠MAN+∠BAC=180°，
∴∠ABE=∠MAN，
在△ABE和△MAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AM}\\{∠ABE=∠MAN}\\{AN=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MAN（SAS），
∴AE=AM，
∴MN=2AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．