Question

5．如图，已知△ABC中，∠A=60°，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，P为BE，CD的交点，求证：BD+CE=BC．

Answer 1

分析 首先结合角平分线的性质结合三角形内角和定理得出∠DPB=∠EPC=60°，∠BPC=120°，再证明△DBP≌△FBP（SAS），进而得出△CEP≌△CFP（ASA），求出EC=FC，进而得出答案．

解答 证明：截取BF=BD，
∵∠A=60°，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠DPB=∠EPC=60°，∠BPC=120°，
在△DBP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BF}\\{∠DBP=∠FBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△FBP（SAS），
∴∠DPB=∠BPF=60°，
∴∠CPF=60°，
在△CEP和△CFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEP=∠FCP}\\{PC=CP}\\{∠EPC=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△CEP≌△CFP（ASA），
∴FC=EC，
∴BD+EC=BF+FC，
∴BD+CE=BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CEP≌△CFP是解题的关键．