Question

5．在正方形ABCD中，CD=5，BD是一条对角线，动点E在直线CD上运动（不与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．
（1）如图①，当点E在直线CD上时，线段EF的长为5（直接填空）．
（2）如图②，当点E在线段CD的延长线上时，求证：△AGD≌△EGF；
（3）点E在直线CD上运动过程中，当线段DE的长为5$\sqrt{3}$时，直接写出∠AGF的度数，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据DE=CF，可以推出EF=CD，由此即可解决问题．
（2）欲证明△AGD≌△EGF，只要证明∠ADG=∠EFG=45°，DG=FG，AD=EF即可．
（3）∠AGF的度数为60°或120°，分两种情形见图③④，分别求解即可．

解答 （1）解：如图①中，∵△BCF是由△ADE平移所得，
∴DE=CF，
∴EF=CD=5，
故答案为5．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD=EF，∠ADG=∠FDG=45°，
∵FG⊥BD，
∴∠DFG=∠FDG=45°，
∴DG=GF，
在△AGD和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EF}\\{∠ADG=∠GFE}\\{DG=FG}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△EGF．
（3）∠AGF的度数为60°或120°．
理由；如图③中，在RT△AED中，∵∠ADE=90°，ED=5$\sqrt{3}$，AD=5，
∴tan∠AED=$\frac{AD}{ED}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AED=30°，由（2）可知△AGD≌△EGF，
∴∠EGF=∠AGD，EG=AG，
∴∠EGA=∠FCD=90°，∠GEA=∠EAG=45°，
∴∠DEG=15°，
∵∠DFG=∠FEG+∠FGE，
∴∠EGF=∠AGD=30°，
∴∠AGF=90°-∠AGD=60°，
如图④中，同理可证∠AGD=∠EGF=30°，可得∠AGF=∠AGD+∠DGF=120°．
∴∠AGF的度数为60°或120°．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，寻找特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．