Question

8．已知关于x的一元二次方程x²-2x-t+1=0有两个实数根．
（1）求t的取值范围；
（2）设v是方程的一个实数根，且满足（v²-2v+3）（t-3）=-5，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程有两个实数根即△≥0，可得关于t的不等式，解不等式可得；
（2）根据方程的解得v²-2v=t-1，整体代入可得关于t的方程，解方程可得．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2x-t+1=0有两个实数根，
∴△≥0，即△=4-4（-t+1）≥0，
∴t≥0；
 （2）∵v是方程的一个实数根，
∴把x=v代入方程得：v²-2v-t+1=0，即v²-2v=t-1，
∵（v²-2v+3）（t-3）=-5，
∴（t-1+3）（t-3）=-5，
∴（t+2）（t-3）=-5，整理得：t²-t-1=0，
∴解得此方程的根为：t=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
又∵t≥0，
∴t=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．