Question

15．（1）如图①，D是等边三角形ABC的AB边上一个动点（点D与点A，B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCE，连接AE，求证：∠B=∠EAC；
（2）如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，（1）中结论∠B=∠EAC还成立吗？请说明理由；
（3）如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上任意一点（点D与A，B不重合），连结CD，以CD为底边作等腰三角形ECD，使顶角∠DEC=∠BAC，连结AE，试探究∠B与∠EAC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，继而得出结论；
（2）和（1）的思路完全一样；
（3）首先得出∠ACB=∠ECD，从而判定△ABC∽△EDC，得到$\frac{AC}{CE}$=$\frac{BC}{CD}$，根据∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，于是得到∠BCD=∠ACE，推出△BCD∽△ACE，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠EAC；

（2）解：结论∠B=∠EAC仍成立；
理由如下：∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠EAC；

（3）解：∠B=∠EAC；
理由如下：∵AB=AC，ED=EC，顶角∠BAC=∠DEC，
∴底角∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{AC}{CE}$=$\frac{BC}{CD}$，
又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠B=∠CAE．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．