Question

3．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CD=CB，求证：
（1）AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD）；
（2）∠B+∠D=180°．

Answer 1

分析 （1）作CF⊥AD的延长线于F，再由条件就可以得出△CDF≌△CEB，就可以得出CF=CE，从而得出结论；
（2）根据△CDF≌△CEB得出∠B=∠FDC，进而证明∠B+∠D=180°．

解答 证明：（1）作CF⊥AD的延长线于F，如图：

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，
∴CF=CE，AF=AE，
在Rt△CDF与Rt△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△CEB（HL），
∴FD=BE，
∵AF=AE，
∴AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD）；
（2）∵Rt△CDF≌Rt△CEB，
∴∠B=∠FDC，
∵∠ADC+∠FDC=180°，
∴∠B+∠D=180°．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明△CDF≌△CEB进而得出∠B=∠FDC．