Question

6．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD²=AE•AC，求证：
（1）△BCD∽△CDE；
（2）$\frac{C{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）由AD²=AE•AC，易证得△ADC∽△AED，即可得∠ACD=∠ADE，又由DE∥BC，易证得∠ECD=∠B，则可证得△BCD∽△CDE；
（2）由△BCD∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得$\frac{CD}{BC}$=$\frac{DE}{CD}$，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，即可得$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，继而得到结论．

解答 证明：（1）∵AD²=AE•AC，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∵∠A是公共角，
∴△ADC∽△AED，
∴∠ACD=∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，
∴∠ECD=∠B，
∴△BCD∽△CDE；

（2）∵△BCD∽△CDE，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{DE}{CD}$，
∴DE=$\frac{C{D}^{2}}{BC}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{C{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{AB}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．