Question

如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1．点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，则这个矩形的面积是（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  3

• D、

  2

  3

  3

Answer 1

考点：垂径定理,等边三角形的性质,矩形的性质

专题：

分析：过点O作OF⊥BC于点F，连接BD、OC，根据垂径定理可得出BF的长，故可得出OB的长，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由△ABC为等边三角形得∠A=60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，易得∠CBD=30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=

1

2

BD=

1

2

，然后根据矩形的面积公式求解．

解答：解：过点O作OF⊥BC于点F，连结BD、OC，
∵△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1，
∴BF=

1

2

BC=1，∠OBC=30°，
∴OB=

BF

cos30°

=

1 2

3 2

=

3

3

．
∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD=

2 3

3

，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，CD=

1

2

BD=

3

3

，
∴矩形BCDE的面积=BC•CD=

3

3

．
故选C．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．