Question

如图，A、B分别是x轴上位于原点左、右两侧的点．P（3，m），m＞0，直线PA交y轴于点C（0，2），S_△AOP=9．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若S_△BOP=S_△DOP，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的情况下，已知存在点E，使以点A、B、P、E顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AC的解析式，把x=3代入解析式即可求得m的值；
（2）设直线BD的解析式为y=ax+c（a≠0），再把P（3，3）代入得出3a+c=3，故可得出D（0，c），B（-

c

a

，0），再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）如图所示，使以点A、B、P、E顶点的四边形是平行四边形的点E位置有三个，分别求出坐标即可．

解答：解：（1）∴S_△AOC=S_△AOP-S_△COP=9-3=6，
∴S_△AOC=

1

2

OA•OC=6，即

1

2

×OA×2=6，
∴OA=6，
∴A的坐标是（-6，0），
设直线AP的解析式是y=kx+b，
将A与C坐标代入得：

-6k+b=0 b=2

，
解得：

k= 1 3 b=2

，
∴直线的解析式是y=

1

3

x+2，
当x=3时，y=3，即m=3；
（2）设直线BD的解析式为y=ax+c（a≠0），
∵P（3，3），
∴3a+c=3，
∴D（0，c），B（-

c

a

，0），
∵S_△BOP=S_△DOP，
∴

1

2

OD•3=

1

2

OB•3，即c=-

c

a

，
解得：a=-1，
∴c=6，
∴BD的解析式是：y=-x+6；
（3）如图所示，E有三个位置，
∵A（-6，0），B（6，0），P（3，3），
∴PE₁=PE₂=AB=12，
∴E₁（15，3），E₂（-9，3），
由题意得：E₃与E₂关于点A对称，
∴E₃（-3，-3），
则使以点A、B、P、E顶点的四边形是平行四边形的点E坐标为（15，3）或（-9，3）或（-3，-3）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．