Question

14．如图：四边形ABDC中，CD=BD，E为AB上一点，连接DE，且∠CDE=∠B．若∠CAD=∠BAD=30°，AC=5，AB=3，则EB=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 如图，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明Rt△DMC≌Rt△DNB，推出CM=BN，△ADM≌△ADN，推出AM=AB，再证明DE∥AC，推出∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°，推出AE=DE，推出∠DEN=60°，在Rt△ADN中，可得DN=AN•tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，在Rt△EDN中，可得DE=DN÷cos30°=$\frac{8}{3}$，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．

∵∠CAD=∠BAD=30°，DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∴DN=DM，
在Rt△DMC和Rt△DNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DMC≌Rt△DNB，
∴CM=BN，
同理可证△ADM≌△ADN，
∴AM=AB，
∴AC+AB=AM+CM+AN-BN=2AM=8，
∴AM=AN=4，
∵∠DCM=∠DBN，
∴∠1=∠2，
∵∠CDE=∠2，
∴∠1=∠CDE，
∴DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°，
∴AE=DE，
∴∠DEN=60°，
在Rt△ADN中，DN=AN•tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△EDN中，DE=DN÷cos30°=$\frac{8}{3}$，
∴AE=$\frac{8}{3}$，
∴EB=AB-AE=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为$\frac{1}{3}$．

点评 本题科学全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．