Question

2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE²+DF²=AF²+DE²．上述结论中正确的是（　　）

• A． ②③
• B． ②④
• C． ①②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 只要证明△ADE≌△ADF，推出AE=EF，DE=DF，推出AD垂直平分线段EF，即可判定②③正确，利用勾股定理即可判定④正确，①不一定成立故错误．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
在△ADE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DAF}\\{∠AED=∠AFD=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE=AF，DE=DF，
∴AD垂直平分EF，故②正确，
∵∠EAF=90°时，∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确，
∵AE²+DF²=EO²+AO²+OD²+OF²，
DE²+AF²=OE²+OD²+OA²+OF²，
∴AE²+DF²=AF²+DE²，故④正确，
∵AD垂直平分EF，EF不一定垂直平分AD，故①错误，
故选D．

点评 本题考查正方形的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．