Question

14．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．

（1）求∠A的度数；
（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△CBB′是等边三角形，进而得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出sin∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，即可得出∠CAD=30°，进而得出α的度数．

解答 解：（1）将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，
∴CB=CB′
∵点B′可以恰好落在AB的中点处，
∴点B′是AB的中点．
∵∠ACB=90°，
∴CB′=$\frac{1}{2}$AB=BB′，
∴CB=CB′=BB′，
即△CBB′是等边三角形．
∴∠B=60°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A=30°；
（2）如图，过点C作CD⊥AA′于点D，
点C到AA′的距离等于AC的一半，即CD=$\frac{1}{2}$AC．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，sin∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAD=30°，
∵CA=CA′，
∴∠A′=∠CAD=30°．
∴∠ACA′=120°，即α=120°．

点评 本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．