Question

9．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：$\sqrt{3}$，求大楼AB的高度是多少？（精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45）

Answer 1

分析 延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=$\sqrt{3}$x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6$\sqrt{3}$米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6$\sqrt{3}$+20（米），即可得出大楼AB的高度．

解答 解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1：$\sqrt{3}$，
∴BH：CH=1：$\sqrt{3}$，
设BH=x米，则CH=$\sqrt{3}$x米，
在Rt△BCH中，BC=12米，
由勾股定理得：x²+（$\sqrt{3}$x）²=12²，
解得：x=6，
∴BH=6米，CH=6$\sqrt{3}$米，
∴BG=GH-BH=15-6=9（米），EG=DH=CH+CD=6$\sqrt{3}$+20（米），
∵∠α=45°，
∴∠EAG=90°-45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=6$\sqrt{3}$+20（米），
∴AB=AG+BG=6$\sqrt{3}$+20+9≈39.4（米）．
故大楼AB的高度大约是39.4米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．