Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，P是AC边上一动点（不与A、C重合），过点P作PE∥BC交AD于点E，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接B′C，当∠ACE=∠BCB′时，则AE=$\frac{64}{25}$．

Answer 1

分析 延长AD交BB′于F，则AF⊥BB′，证明△ACD∽△BFD，求出BF的长，得到BB′的长，证明△ACE∽△BCB′，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：延长AD交BB′于F，则AF⊥BB′，
则∠ACD=∠BFD，
∵∠ADC=∠FDB，
∴∠CAD=∠FBD，
∴△ACD∽△BFD，
∴$\frac{BF}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{BF}{4}$=$\frac{2}{5}$，
∴BF=$\frac{8}{5}$，
∴BB′=$\frac{16}{5}$，
∵∠ACE=∠BCB′，∠CAE=∠CBB′，
∴△ACE∽△BCB′，
∴AE=$\frac{64}{25}$．
故答案为：$\frac{64}{25}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．