Question

18．（1）问题发现
如图1，△ABC和△BDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CD．
填空：
①∠CDB的度数为60°；
②线段AE，CD之间的数量关系为AE=CD．
（2）拓展探究
如图2，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，点A，D，E在同一直线上，BF为△DBE中DE边上的高，连接CD，请判断∠CDB的度数及线段BF，AD，CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=2，CE⊥AE于E，∠BAE=∠BCE，若AE=1，结合（1），（2）的解题经验和结论，请求出点B到AE的距离．

Answer 1

分析 （1）由条件易证△BCD≌△BAE，从而得到：CD=AE，∠BDC=∠BEA．求出∠CDB=60°；
（2）仿照（1）中的解法可求出∠CDB的度数，证出CD=AE；BF是△DBE均为等腰直角三角形，得出CD=AE=AD+DE=AD+2BF．
（3）先判断出△PBE是等腰直角三角形，借助（2）结论得到由（2）的结论可得，CE=AE+2BH，求出BH即可．

解答 解：（1）①∵△ACB和△DBE均为等边三角形，
∴BA=CB，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°．
∴∠ABE=∠CBD．
在△BCD和△BAE中，
∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BD=BE，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴∠CDB=∠BEA．
∵△DBE为等边三角形，
∴∠CDB=∠BED=60°．
故答案为：60°．
②∵△BCD≌△BAE，
∴CD=AE，
故答案为：CD=AE，
（2））∠CDB=45°，CD=AD+2BF
理由：∵△ACB和△DBE均为等腰直角三角形，
∴BA=CB，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°．
∴∠ABE=∠CBD．
在△BCD和△BAE中，
∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BD=BE，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴∠CDB=∠AEB，CD=AE
∵BF是△DBE均为等腰直角三角形，
∴∠CDB=∠AEB=45，DE=2BF，
∴CD=AE=AD+DE=AD+2BF．
∴∠CDB=45°，CD=AD+2BF；
（3）如图，

连接EB，ED，作BH⊥CE，BP⊥BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，AB=AD=CD=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∵AE=1，
∴CE=$\sqrt{7}$，
∵A，E，B，C四点共圆，
∴∠BCE=∠CAB=45°，
∴△PBE是等腰直角三角形，
∵△ABC是等腰直角三角形，且C，E，P共线，BH⊥CE，
∴由（2）的结论可得，CE=AE+2BH，
∴$\sqrt{7}$=2BH+1，
∴BH=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．
过点B作BG⊥AE于G，
∴△ABG≌△CBH，
∴BG=BH=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．
即：点B到AE的距离为$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是全等三角形的判定．