Question

12．如图，已知⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：△EAF∽△CBA．
（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC=90°，由角的关系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切线，
（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC=90°，由在Rt△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，
（3））由△EAF∽△CBA，可得出$\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{EF}$，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的长．

解答 （1）证明：如图1，连接CD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴EA是⊙O的切线．

（2）证明：如图2，连接BC，

由（1）知，∠EAF=∠EAC=90°，
∵B是EF的中点，
∴在Rt△EAF中，AB=BF（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠BAC=∠AFE，
∴△EAF∽△CBA．

（3）解：∵△EAF∽△CBA，
∴$\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{EF}$，
∵AF=4，CF=2．
∴AC=6，EF=2AB，
∴$\frac{AB}{4}=\frac{6}{2AB}$，解得AB=2$\sqrt{3}$．
∴EF=4$\sqrt{3}$，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AE=$\sqrt{E{F}^{2}-A{F}^{2}}$=4$\sqrt{2}$

点评 此题是相似三角形的判定和性质，主要考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判断和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线运用三角形相似及切线性质求解．