Question

5．在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，把纸片展开，得到折痕EF（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值．此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？

Answer 1

分析 （1）连接AN，可证△ABN为等边三角形，可求得∠ABM=∠NBM=30°，则可求得∠PBM=∠BMP=60°，可证得△BMP为等边三角形；
（2）由题意可知BC＞BP，在Rt△BNP中，可求得a=BPcos30°，则可找到a、b满足的关系；
（3）在Rt△ABM′中可求得AM′的长，则可求得M′的坐标，代入直线y=kx可求得k的值；设△ABM′沿BM′折叠后点A在矩形OADC内的对应点为A′，过A′作A′H⊥BC于点H，在△A′BH中可求得A′H、BH的长，可求得A′点的坐标，进行判断即可．

解答 解：
（1）△BMP是等边三角形，
证明如下：如图1，连接AN，

∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折叠可知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠PBN=30°，
∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，
∴△BMP为等边三角形；

（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边三角形BMP，则BC≥BP，
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴$\frac{a}{BP}$=cos30°，
∴BP=$\frac{a}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴b≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
即当b≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a时，在矩形上能剪出这样的等边三角形BMP；
（3）∵∠M′BC=60°，
∴∠ABM′=90°-60°=30°，
在Rt△ABM′中，tan∠ABM′=$\frac{AM′}{AB}$，
∴tan30°=$\frac{AM′}{2}$，解得AM′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴M′（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2），代入y=kx中，可求得k=$\sqrt{3}$；
如图2，设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A′，过A′作A′H⊥BC于点H，

由折叠的性质可知∠A′BM′=∠ABM′=30°，A′B=AB=2，
∴∠A′BH=∠M′BH-∠A′BM′=30°，
在Rt△A′BH中，A′H=$\frac{1}{2}$A′B=1，BH=$\sqrt{3}$，
∴A′（$\sqrt{3}$，1），
∴A′落在EF上．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及折叠的性、等边三角形的判定和性质、矩形的性质、三角函数等知识．在（1）求得∠ABM=∠NBM=30°是解题的关键，在（2）中利用三角函数的定义找到BP与a的关系是解题的关键，在（3）中求得M′和A′的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．