Question

16．已知二次函数y=ax²+bx+c（c≠4a），其图象L经过点A（-2，0）．
（1）求证：b²-4ac＞0；
（2）若点B（-$\frac{c}{2a}$，b+3）在图象L上，求b的值；
（3）在（2）的条件下，若图象L的对称轴为直线x=3，且经过点C（6，-8），点D（0，n）在y轴负半轴上，直线BD与OC相交于点E，当△ODE为等腰三角形时，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据图象上的点满足函数解析式，可得b=2a+$\frac{1}{2}$c，根据根的判别式，可得答案；
（2）根据图象上的点满足函数解析式，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据待定系数法，可得函数解析式，根据相似三角形的判定与性质，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．

解答 （1）证明：由图象L经过点A（-2，0，得
4a-2b+c=0，
∴b=2a+$\frac{1}{2}$c．
∴b²-4ac=（2a+$\frac{1}{2}$c）²-4ac=（2a-$\frac{1}{2}$c）²．
∵c≠4a，
∴2a-$\frac{1}{2}$c≠0，
∴（2a-$\frac{1}{2}$c）²＞0，即b²-4ac＞0．

（2）解：∵点B（-$\frac{c}{2a}$，b+3）在图象L上，
∴$a•\frac{c^2}{{4{a^2}}}+b•（-\frac{c}{2a}）+c=b+3$，整理，得
$\frac{c（4a-2b+c）}{4a}=b+3$．
∵4a-2b+c=0，
∴b+3=0，解得
b=-3．

（3）解：由题意，得$-\frac{-3}{2a}=3$，且36a-18+c=-8，解得a=$\frac{1}{2}$，c=-8．
∴图象L的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-3x-8．
设OC与对称轴交于点Q，图象L与y轴相交于点P，
则Q（3，-4），P（0，-8），OQ=PQ=5．
分两种情况：①当OD=OE时，如图1，
，
过点Q作直线MQ∥DB，交y轴于点M，交x轴于点H，
则$\frac{OM}{OD}=\frac{OQ}{OE}$，
∴OM=OQ=5．
∴点M的坐标为（0，-5）．
设直线MQ的解析式为y=k₁x-5．
∵MQ经过点Q（3，-4），
∴3k₁-5=-4，解得
${k_1}=\frac{1}{3}$．
∴MQ的解析式为$y=\frac{1}{3}x-5$．
易得点H（15，0）．
又∵MH∥DB，
$\frac{OD}{OM}=\frac{OB}{OH}$．
即$\frac{-n}{5}=\frac{8}{15}$，
∴$n=-\frac{8}{3}$．
②当EO=ED时，如图2，
，
∵OQ=PQ，
∴∠1=∠2，又EO=ED，
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3，
∴PQ∥DB．
设直线PQ交于点N，其函数表达式为y=k₂x-8
∴3k₂-8=-4，解得${k_2}=\frac{4}{3}$．
∴PQ的解析式为$y=\frac{4}{3}x-8$．
∴点N的坐标为（6，0）．
∵PN∥DB，
∴$\frac{OD}{OP}=\frac{OB}{ON}$，
∴$\frac{-n}{8}=\frac{8}{6}$，解得$n=-\frac{32}{3}$．
综上所述，当△ODE是等腰三角形时，n的值为$-\frac{8}{3}$或$-\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用根的判别式；解（2）的关键是利用图象上的点满足函数解析式得出关于b的方程；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．