Question

18．小敏在研究最值问题时遇到了这样的一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AD、AB、BC、CD上，则四边形EFGH的周长是否存在最小值？她决定按照老师讲的由特殊到一般逐步化归的思路去研究，请你帮助她完成下面的探究过程．
探究1：如图2，在AF=2，DH=5的条件下，请在图2中画出周长最小的四边形EFGH，并求出周长的最小值；
探究2：在探究1的启发下，小敏画出了图3：作F关于AD的对称点F₁，作F关于BC的对称点F₂，作F₁关于CD的对称点F₃，连接F₂F₃交CD于H，交BC于点G，连接F₁H交AD于E，连接EF、FG，借助图3，他发现四边形EFGH的周长有最小值，并顺利解决了遇到的这个问题．请求出四边形EFGH的周长的最小值．
拓广探究：解决了上述问题后，小敏又想到了新的问题，当四边形EFGH的周长最小时，四边形EFGH的面积是否存在最大值？请帮助小敏解决这个问题，若存在，请求出此时面积的最大值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 探究1：如图1中，作F关于AD的对称点F′，F关于BC的对称点F″，连接HF′交AD于E，连接HF″交BC于G，作HM⊥AB于M．此时四边形EFGH的周长最小，最小值=EF+EH+GF+GH=EF′+EH+HG+GF″=HF′+HF″；
探究2：由题意可知四边形EFGH的周长的最小值=HF₁+HF₂，易知HF₁是Rt△F₁F₂F₃的斜边的中线，可得HF₁=HF₂=HF₃，在Rt△F₁F₂F₃中，F₁F₂=16，F₁F₃=12，
易知F₂F₃=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20，由此即可解决问题；
拓广探究：如图2中，当四边形EFGH的周长最小时，四边形EFGH是平行四边形，易知：CH：CG：GH=3：4：5，设HC=3x，GC=4x，GH=5x，则DH=6-3x，BG=8-4x，
DE=$\frac{4}{3}$（6-3x），AE=8-$\frac{4}{3}$（6-3x），BF=$\frac{3}{4}$（8-4x），AF=6-$\frac{3}{4}$（8-4x），构建二次函数即可解决问题；

解答 解：探究1：如图1中，作F关于AD的对称点F′，F关于BC的对称点F″，连接HF′交AD于E，连接HF″交BC于G，作HM⊥AB于M．

此时四边形EFGH的周长最小，最小值=EF+EH+GF+GH=EF′+EH+HG+GF″=HF′+HF″，
在Rt△HMF′中，HF′=$\sqrt{MF{′}^{2}+H{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
在Rt△HMF″中，HF″=$\sqrt{H{M}^{2}+F″{M}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{89}$，
∴四边形EFGH的周长的最小值为10+$\sqrt{89}$；

探究2：

由题意可知四边形EFGH的周长的最小值=HF₁+HF₂，
易知HF₁是Rt△F₁F₂F₃的斜边的中线，
∴HF₁=HF₂=HF₃，
在Rt△F₁F₂F₃中，F₁F₂=16，F₁F₃=12，
∴F₂F₃=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20，
∴四边形EFGH的周长的最小值为20．

拓广探究：存在．理由如下：
如图2中，当四边形EFGH的周长最小时，四边形EFGH是平行四边形，易知：CH：CG：GH=3：4：5，设HC=3x，GC=4x，GH=5x，则DH=6-3x，BG=8-4x，
DE=$\frac{4}{3}$（6-3x），AE=8-$\frac{4}{3}$（6-3x），BF=$\frac{3}{4}$（8-4x），AF=6-$\frac{3}{4}$（8-4x），
∴S_{四边形EFGH}=6×8-$\frac{1}{2}$•3x•4x-$\frac{1}{2}$•（6-3x）•$\frac{4}{3}$（6-3x）-$\frac{1}{2}$•[8-$\frac{4}{3}$（6-3x）]•[6-$\frac{3}{4}$（8-4x）]-$\frac{1}{2}$•（8-4x）•$\frac{3}{4}$（8-4x）
=-24x²+48x
=-24（x-1）²+24，
∵-24＜0，
∴x=1时，四边形EFGH的面积最大，最大值为24．

点评 本题考查四边形综合题、轴对称的性质、勾股定理、二次函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．