Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD．
（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，当∠CAD=90°时，求出即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∵∠BAD=45°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，
即△ACD为等腰三角形；

（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=∠ADC-∠B=90°-30°=60°；
②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-90°=30°；
即∠BAD的度数是60°或30°．

点评 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．