Question

15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB=12，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰和三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}×$（180°-∠A）=70°，根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，求出∠ABD=∠A=40°，即可求出答案；
（2）求出AD+DC+BC=AC+BC=20，即可求出答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}×$（180°-∠A）=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°；

（2）∵△CBD的周长为20，AD=BD，
∴BD+DC+BC=20，
∴AD+DC+BC=AC+BC=20，
∵AB=12，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=12+20=32．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出AD=BD是解此题的关键．