如图1.是午休时老师们所用的一种折叠椅．把折叠椅完全平躺时如图2.长度MC=180厘米.AM=50厘米.B是CM上一点.现将躺椅如图3倾斜放置时.AM与地面ME成45°角.AB∥ME.椅背BC与水平线成30°角.其中BP是躺椅的伸缩支架.其与地面的夹角不得小于30°．(1)若点B恰好是MC的黄金分割点.人躺在上面才会比较舒适.求此时点C与地面的距离．(2)午休结束后.老师会把AM� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图1，是午休时老师们所用的一种折叠椅．把折叠椅完全平躺时如图2，长度MC=180厘米，AM=50厘米，B是CM上一点，现将躺椅如图3倾斜放置时，AM与地面ME成45°角，AB∥ME，椅背BC与水平线成30°角，其中BP是躺椅的伸缩支架，其与地面的夹角不得小于30°．
（1）若点B恰好是MC的黄金分割点（MB＞BC），人躺在上面才会比较舒适，求此时点C与地面的距离．（结果精确到1厘米）
（2）午休结束后，老师会把AM和伸缩支架BP收起紧贴AB，在（1）的条件下，求伸缩支架BP可达到的最大值．（结果精确到1厘米）（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{5}$≈2.2）

分析（1）根据点B恰好是MC的黄金分割点，算出BC的长度，再由∠AME=45°、∠CBD=30°，即可求得CE的长度；
（2）由物理力学知识能够知道30°＜∠BPM＜90°，在此范围内正弦函数单调递增，由此可得知当∠BPM接近30°时，BP最长，借助特殊角的三角函数值即可得出结论．

解答解：（1）∵点B是MC的黄金分割点（MB＞BC），
∴$\frac{MB}{MC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$≈0.6，$\frac{BC}{MC}$=$\frac{MC-AB}{MC}$≈1-0.6≈0.4，
∵MC=180厘米，
∴BC≈0.4×180≈72厘米，
CE=CD+DE=MA•sin45°+BC•sin30°=50×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+72×$\frac{1}{2}$≈71厘米．
答：此时点C与地面的距离约为71厘米．
（2）∵30°＜∠BPM，且∠BPM＜90°（物理力学知识得知），
∴sin∠BPM在其取值范围内为单调递增函数，
又∵BP=$\frac{DE}{sin∠BPM}$，
∴当∠BPM接近30°时，BP最大，此时BP=$\frac{DE}{sin30°}$=$\frac{MA•sin45°}{sin30°}$≈70厘米．
答：伸缩支架BP可达到的最大值约为70厘米．

点评本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：（1）知道黄金比例的数值；（2）利用物理常识找到30°＜∠BPM＜90°，根据正弦函数的单调性即可求出结论．