Question

7．若关于x的无理方程$\sqrt{{x}^{2}-p}$+2$\sqrt{{x}^{2}-1}$=x有实数解，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 根据原无理方程，可以对其化简，从而可以得到关于平的不等式，从而可以得到实数P的取值范围．

解答 解：$\sqrt{{x}^{2}-p}$+2$\sqrt{{x}^{2}-1}$=x，
∴$\sqrt{{x}^{2}-p}=x-2\sqrt{{x}^{2}-1}$，
∴${x}^{2}-p={x}^{2}-4x\sqrt{{x}^{2}-1}+4（{x}^{2}-1）$，
∴${x}^{2}-p={x}^{2}-4x\sqrt{{x}^{2}-1}+4{x}^{2}-4$，
∴$4x\sqrt{{x}^{2}-1}=4{x}^{2}+p-4$，
∴16x²（x²-1）=16x⁴+8px²-32x²+（p-4）²，
∴16x⁴-16x²=16x⁴+8px²-32x²+（p-4）²，
∴16x²-8px²=（p-4）²，
∴${x}^{2}=\frac{（p-4）^{2}}{16-8p}$，
∵关于x的无理方程$\sqrt{{x}^{2}-p}$+2$\sqrt{{x}^{2}-1}$=x有实数解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（p-4）^{2}}{16-8p}≥p}\\{\frac{（p-4）^{2}}{16-8p}≥1}\\{16-8p＞0}\end{array}\right.$，
解得，p＜2，
即实数p的取值范围是p＜2．

点评 本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法．